Keskirajalause - yleiskatsaus, historia ja esimerkki

Central Limit Theorem (CLT) on tilastollinen käsite, jonka mukaan satunnaismuuttujan otoksen keskimääräinen jakauma olettaa lähes normaalin tai normaalin jakauman, jos otoksen koko on riittävän suuri. Lauseessa todetaan yksinkertaisesti, että keskimääräisen keskiarvon otosjakauma on olennainen käsite matematiikassa ja tilastoissa. Keskiarvo viittaa keskiarvoon tai yleisimpään arvoon kokoelmassa lähestyy normaalijakaumaa otoksen koon kasvaessa alkuperäisen populaatiojakauman muodosta riippumatta.

Keskirajalause (CLT) -kaavio, joka näyttää lähentymisen normaalijakaumaan

Kun käyttäjä kasvattaa näytteiden lukumäärää 30, 40, 50 jne., Näytevälineiden kaavio siirtyy kohti normaalijakaumaa. Otoksen koon on oltava vähintään 30, jotta keskirajalause pysyisi voimassa.

Yksi lauseen tärkeimmistä komponenteista on, että otoksen keskiarvo on koko populaation keskiarvo. Jos lasket populaation useiden otosten keskiarvon, summataan ne yhteen ja löydetään niiden keskiarvo, tulos on arvio populaation keskiarvosta.

Sama pätee käytettäessä standardipoikkeamaa. Standardipoikkeama Tilastollisesta näkökulmasta tietojoukon keskihajonta mittaa sisältämien havaintojen arvojen välisten poikkeamien suuruutta. Jos lasket kaikkien populaation näytteiden keskihajonnan, summataan ne yhteen ja löydetään keskiarvo, tuloksena on koko populaation keskihajonta.

Kuinka keskirajalause toimii?

Keskirajalause on todennäköisyysjakauman perusta. Sen avulla on helppo ymmärtää, kuinka populaatioestimaatit käyttäytyvät toistuvassa näytteenotossa tyypin II virhe. Tilastollisessa hypoteesitestauksessa tyypin II virhe on tilanne, jossa hypoteesitesti ei hylkää väärää nullhypoteesia. Toisessa . Kun kaavio piirretään kaavioon, lause näyttää jakautumisen muodon, joka muodostuu toistettujen populaationäytteiden avulla.

Kun näytekoot kasvavat, toistuvien näytteiden keskiarvojen jakautumisella on taipumus normalisoitua ja muistuttaa normaalijakaumaa. Tulos pysyy samana riippumatta siitä, mikä jakelun alkuperäinen muoto oli. Se voidaan havainnollistaa alla olevassa kuvassa:

Central Limit Theorem (CLT) - miten se syntyy

Yllä olevasta kuvasta voidaan päätellä, että huolimatta siitä, että jakauman alkuperäinen muoto oli tasainen, se pyrkii kohti normaalijakaumaa, kun n: n (otoskoko) arvo kasvaa.

Sen lisäksi, että näytetään keskimääräinen rajalauseke, jonka näyte tarkoittaa, se antaa myös yleiskuvan jakauman keskiarvosta ja varianssista. Jakauman otoskeskiarvo on todellinen populaatiokeskiarvo, josta näytteet on otettu.

Toisaalta otosjakauman varianssi on populaation varianssi jaettuna n. Siksi mitä suurempi jakauman otoskoko on, sitä pienempi on otoksen keskiarvon varianssi.

Esimerkki keskirajalauseesta

Sijoittaja on kiinnostunut arvioimaan 100 000 osakkeesta koostuvan ABC-osakemarkkinoiden tuoton. Indeksin suuren koon vuoksi Dow Jones Industrial Average (DJIA) Dow Jones Industrial Average (DJIA), jota kutsutaan yleisesti myös nimellä "Dow Jones" tai yksinkertaisesti "Dow", on yksi suosituimmista ja laajalti tunnustettujen osakemarkkinaindeksien perusteella sijoittaja ei pysty analysoimaan kutakin osaketta itsenäisesti, vaan päättää käyttää satunnaista otantaa saadakseen arvion indeksin kokonaistuotosta.

Sijoittaja valitsee satunnaiset näytteet osakkeista, joista jokainen sisältää vähintään 30 osaketta. Näytteiden on oltava satunnaisia, ja kaikki aiemmin valitut näytteet on korvattava seuraavissa näytteissä, jotta vältetään ennakkoluulot.

Jos ensimmäisen näytteen keskimääräinen tuotto on 7,5%, seuraava näyte voi tuottaa keskimääräisen tuoton 7,8%. Satunnaistetun otoksen luonteen vuoksi jokainen näyte tuottaa erilaisen tuloksen. Kun suurennat otoskoon kokoa jokaisella valitsemallasi näytteellä, näytevälineet alkavat muodostaa omia jakaumiaan.

Näytevälineiden jakauma siirtyy kohti normaalia, kun n: n arvo kasvaa. Otosindeksissä olevien osakkeiden keskimääräinen tuotto arvioi koko 100 000 osakkeen indeksin tuoton, ja keskimääräinen tuotto jakautuu normaalisti.

Keskirajalauseen historia

Keskirajalauseen alkuperäisen version keksi ranskalainen syntyperäinen matemaatikko Abraham De Moivre. Vuonna 1733 julkaistussa artikkelissa De Moivre käytti normaalijakaumaa löytääkseen kolikon monta heitosta johtuvien päiden määrän. Käsite oli tuolloin epäsuosittu, ja se unohdettiin nopeasti.

Pierre-Simon Laplace, toinen kuuluisa ranskalainen matemaatikko, otti kuitenkin konseptin uudelleen käyttöön vuonna 1812. Laplace toi normaalijakautumiskonseptin uudelleen teokseensa "Théorie Analytique des Probabilités", jossa hän yritti lähentää binomijakaumaa normaalijakaumalla.

Matemaatikko havaitsi, että riippumattomien satunnaismuuttujien keskiarvo, kun lukumäärä kasvaa, seuraa yleensä normaalijakaumaa. Tuolloin Laplace'n havainnot keskeisestä rajalausekkeesta herättivät muiden teoreetikkojen ja akateemikkojen huomion.

Myöhemmin vuonna 1901 venäläistä matemaatikkoa Aleksandr Lyapunov laajensi keskeistä rajalausetta. Lyapunov meni askelta eteenpäin määrittelemään käsitteen yleisesti ja osoittamaan, miten käsite toimi matemaattisesti. Ominaisfunktiot, joita hän käytti lauseen tuottamiseen, hyväksyttiin nykyaikaisessa todennäköisyysteoriassa.

Liittyvät lukemat

Finance on maailmanlaajuisen finanssimallinnus- ja arvostusanalyytikon (FMVA) ™ virallinen toimittaja. FMVA®-sertifiointi . Alla olevista lisärahoitusresursseista on hyötyä oppimisen ja urasi etenemisen kannalta:

  • Bayesin lause Bayesin lause Tilastossa ja todennäköisyysteoriassa Bayesin lause (tunnetaan myös nimellä Bayesin sääntö) on matemaattinen kaava, jota käytetään ehdollisen
  • Keskitaipumus Keskitaipumus Keskitaipumus on kuvaava yhteenveto tietojoukosta yhden arvon kautta, joka heijastaa tiedonjakelun keskipistettä. Yhdessä vaihtelevuuden kanssa
  • Suurten lukujen laki Suurten numeroiden laki Tilasto- ja todennäköisyysteoriassa suurten lukujen laki on lause, joka kuvaa saman kokeen toistamisen tulosta suurella määrällä
  • Kokonais Todennäköisyyssääntö Kokonais Todennäköisyyssääntö Kokonais Todennäköisyyssääntö (joka tunnetaan myös nimellä kokotodennäköisyyden laki) on ehdolliseen ja marginaaliseen tilastojen perussääntö

Uusimmat viestit